Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴2^-x+k•2^x=-（2^x+k•2^-x）
∴（1+k）+（k+1）2^2x=0恒成立
∴k=-1
（2）∵對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，
∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立
∴1-k＜2^2x對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立
∵y=2^2x在[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)的最小值為1
∴1-k＜1
∴k＞0
分析：（1）利用函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x為奇函數(shù)，建立等式，即可求實(shí)數(shù)k的值；
（2）對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，即1-k＜2^2x對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義，利用分離參數(shù)法求解恒成立問題．