Question

【題目】若實數(shù)滿足，則稱為函數(shù)的不動點．

（1）求函數(shù)的不動點；

（2）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．

① 若時，存在一個實數(shù)，使得既是的不動點，又是 的不動點（是函數(shù)的導函數(shù)），求實數(shù)的取值范圍；

② 令，若存在實數(shù)，使，，， 成各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，求證：函數(shù)存在不動點．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的不動點為；（2）①，②見解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的不動點為;

(2)由題意得到方程組，消去c可得實數(shù)的取值范圍是，

(3)滿足題意時結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)討論計算即可證得結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意可知，．

令，．故．

列表：

x		1
		0
		極大值

所以，方程有唯一解．

所以函數(shù)的不動點為．

（2）① 由題意可知

消去，得，，所以．

② ．

由題意知，，，成各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，

故可設(shè)公比為，則

故方程有三個根，，．

又因為，所以為二次函數(shù)，

故方程為二次方程，最多有兩個不等的根．則，，中至少有兩個值相等．

當時，方程有實數(shù)根，也即函數(shù)存在不動點，符合題意；

當時，則，，故，又因為各項均為正數(shù)，則，也即，同上，函數(shù)存在不動點，符合題意；

當時，則，，同上，函數(shù)存在不動點，符合題意；

綜上所述，函數(shù)存在不動點．