【題目】如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導出，從而平面，進而.再由，得平面，推導出，從而平面，由此能證明平面平面；
（2）取中點G，從而平面，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解：（1）由題意可知，

又因為平面底面，所以平面，

從而.

因為，所以平面，

易得，，，

所以，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面；

（2）取中點G，，相交于點O，連結(jié)，易證平面，

故、、兩兩垂直，以O為坐標原點，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，.

由（1）可得平面的法向量為.

設平面的法向量為，

則即

令，得，

所以.

從而，

故二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】以下命題中：

①若向量、、是空間的一組基底，則向量、、也是空間的一組基底；

②已知、、三點不共線，點為平面外任意一點，若點滿足，則點平面；

③曲線與曲線（且）有相同的焦點.

④過定圓上一定點作圓的動弦，為坐標原點，若，則動點的軌跡為橢圓；

⑤若過點的直線交橢圓于不同的兩點，且是的中點，則直線的方程是.

其中真命題的序號是______.（寫出所有真命題的序號）

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【題目】一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是(　　)

A. 50 mB. 100 m

C. 120 mD. 150 m

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點；

（II）求二面角B-PD-A的大��；

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

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【題目】如圖，在正方形中，點E，F分別為邊，的中點，將、分別沿、所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，下列說法錯誤是（ ）

A.存在某個位置，使得直線與直線所成的角為

B.存在某個位置，使得直線與直線所成的角為

C.A、C兩點都不可能重合

D.存在某個位置，使得直線垂直于直線

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【題目】如圖（1）是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項目的效果圖，考慮到空間和安全方面的原因，初步設計方案如下：如圖（2），自直立于水面的空中平臺的上端點P處分別向水池內(nèi)的三個不同方向建水滑道，，，水滑道的下端點在同一條直線上，，平分，假設水滑梯的滑道可以看成線段，均在過C且與垂直的平面內(nèi)，為了滑梯的安全性，設計要求.

（1）求滑梯的高的最大值；

（2）現(xiàn)在開發(fā)商考慮把該水滑梯項目設計成室內(nèi)游玩項目，且為保證該項目的趣味性，設計，求該滑梯裝置（即圖（2）中的幾何體）的體積最小值.

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【題目】為了了解我市特色學校的發(fā)展狀況，某調(diào)查機構(gòu)得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

特色學校（百個）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算與的相關(guān)系數(shù)，并說明與的線性相關(guān)性強弱（已知：，則認為與線性相關(guān)性很強；，則認為與線性相關(guān)性一般；，則認為與線性相關(guān)性較弱）；

（Ⅱ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預測我市2019年特色學校的個數(shù)（精確到個）．

參考公式： ，，，，，．

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【題目】已知拋物線方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為________.

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【題目】已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（1）求、的值及極值；

（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍.

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