在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）證明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．
證明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，AE?面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，
∴PA=AC，E是PC的中點，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
（3）由題可知PA，AB，AD兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則B（2，0，0），C（1，
3
，0），P（0，0，2），D（0，
4
3
，0）
設(shè)平面PBC的一個法向量為
m
=（x，y，z），
PB
=（2，0，-2），
BC
=（-1，
3
，0）
PB
•
m
=0
BC
•
m
=0
，即
2x-2z=0
-x+
3
y=0
，
取y=
3
，則x=z=3
即
m
=（3，
3
，3）
設(shè)面PDC的一個法向量為
n
=(x，y，z)，
PC
=(1，
3
，-2)，
PD
=(0，
4
3
，-2)
PC
•
n
=0
PD
•
n
=0
，即
x+
3
y-2z=0
4
3
y-2z=0

取y=
3
，則x=1，z=2，
即
n
=(1，
3
，2)
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
3+3+6
21
8
=
42
7

由圖可知鈍二面角B-PC-D的余弦值為-
42
7
．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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求證：如果兩個相交平面分別經(jīng)過兩條平行線中的一條，那么它們的交線和這兩條平行線互相平行．

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（1）求證：直線Co∥平面1BF；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為線段PB，PC的中點，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直線EC和面PAD所成的角
（2）求點P到平面AFD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=
2
，E是BC中點，點Q在側(cè)棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中點，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若
PQ
PC
=λ，當(dāng)PA∥平面DEQ時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，CC1=3，
CE
=2
EC1

（1）求點D1到平面BDE的距離；
（2）求直線A1B與平面BDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為線段CD中點．
（1）求直線B1E與直線AD1所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-
A_
1的大��；
（3）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值．

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同步練習(xí)冊答案