Question

已知，函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（Ⅱ）在函數(shù)的圖像上取點(diǎn) ，記線段P_nP_n+1的斜率為k_n ，．對(duì)任意正整數(shù)n，試證明：

（ⅰ）；

Answer 1

（Ⅰ）0;（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅱ）利用兩點(diǎn)的連線的斜率公式得出kn，再利用（Ⅰ）的結(jié)論對(duì)Sn放縮即可得出結(jié)論．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）依題意，（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取，則當(dāng)時(shí)，即

于是，即知，所以化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．

（ⅱ）取，，求導(dǎo)可得，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，即

由于對(duì)任意正整數(shù)，，于是利用不等式放縮可得，即知 ，即可得到結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得

所以在單調(diào)遞增，故的最小值是       5分

（Ⅱ）依題意，       6分

（ⅰ）由（1）可知，若取，則當(dāng)時(shí)，即

于是，即知

所以       9分

（ⅱ）取，，求導(dǎo)可得

當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時(shí)，，即       12分

注意到，對(duì)任意正整數(shù)，，于是

，即知

所以        14分．