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17.在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,圓Q過O點與F點,且圓心Q到拋物線C的準線的距離為32
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線上一點M(t,4),過點M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,判斷直線DE是否過定點?并說明理由.

分析 (1)求出拋物線的焦點坐標,結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求;
(2)由(1)求出M的坐標,設(shè)出直線DE的方程x=my+t,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點縱坐標的和與積,利用MDME=0得到t與m的關(guān)系,進一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點.

解答 解:(1)∵Fp20,∴圓心Q在線段OF的垂直平分線x=p4上,
又∵準線方程為:x=p2,∴p4p2=32,得p=2,
∴拋物線C:y2=4x;
(2)由(1)可得點M(4,4),可得直線DE的斜率不為0,
設(shè)直線DE的方程為:x=my+t,
聯(lián)立{x=my+ty2=4x,得y2-4my-4t=0,
則△=16m2+16t>0 ①.
設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4t.
MDME=x14y14x24y24
=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16
=y214y2244y214+y224+16+y1y24y1+y2+16
=y1y2216y1+y22+3y1y24y1+y2+32
=t2-16m2-12t+32-16m=0,
即t2-12t+32=16m2+16m,得:(t-6)2=4(2m+1)2
∴t-6=±2(2m+1),即:t=4m+8或t=-4m+4,
代入①式檢驗均滿足△>0,
∴直線DE的方程為:x=my+4m+8=m(y+4)+8或x=m(y-4)+4.
∴直線過定點(8,-4),(定點(4,4)不滿足題意,故舍去).

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用,屬中檔題.

練習冊系列答案
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 患色盲不患色盲總計
  480
  520
總計  1000
(Ⅰ)請根據(jù)以上的數(shù)據(jù)完成這個2×2的列聯(lián)表;
(Ⅱ)若認為“性別與患色盲有關(guān)系”,則出錯的概率會是多少?
參考數(shù)據(jù):38×514.442×62480×520×44×956=0.02714;38×6.442×5142480×520×44×956=4.90618;38×442.6×5142480×520×44×956=0.01791.

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