Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₃的值為

2013

2014

．

Answer 1

分析：對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據(jù)直線平行時斜率相等的條件可求b，代入可求f（n），利用裂項求和即可求得結論．

解答：解：由f（x）=x²+bx求導得：f′（x）=2x+b，
∵函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S₂₀₁₃的值為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

故答案為：

2013

2014

點評：本題考查了導函數(shù)的幾何意義，考查利用利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和的方法，屬于中檔題．