【題目】

已知函數(shù)，且。

（I）試用含的代數(shù)式表示；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點。

【答案】（I）

（Ⅱ）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

試題（Ⅰ）從導數(shù)出發(fā)，利用即得與的關系式：（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，關鍵研究導函數(shù)零點分布情況：因為導函數(shù)有兩個零點：，，因此需分三種情況進行討論，此時最容易遺漏相等的情況（Ⅲ）先根據(jù)極值求出、的坐標，再聯(lián)立方程確定線段MN與曲線的交點，由易得，因此線段與曲線存在異于、的公共點

試題解析：解：（Ⅰ）依題意得，由得…2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故，令，則或

①當時，，當變化時，的變化情況如下表

可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

②當時，，此時恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

③當時，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）當時，，，。

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)在處取得極值，故

直線的方程為

由得

令，易得

的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

練習冊系列答案
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在極坐標系下，已知圓O：和直線

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（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；

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（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程.

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包裹重量（單位： ）

包裹件數(shù)

公司對近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率；

（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

（ii）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，工資元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？

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（2）若直線與曲線交于兩點，且，求直線的斜率.

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A.[，+∞）B.（3，]C.[3，+∞）D.

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