Question

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線間的距離為1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M，N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且其一條漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線間的距離為1，可得方程組：
解得a²=1，b²=3，代入可得答案；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），由雙曲線的對(duì)稱性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P（x_P，y_P），結(jié)合題意，又由M在雙曲線上，可得，將其坐標(biāo)代入k_PM•k_PN中，計(jì)算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，
有：
解得a²=1，b²=3．
∴雙曲線方程為．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），由雙曲線的對(duì)稱性，可得N（-x，-y）．
設(shè)P（x_P，y_P），
則，
又，
∴y²=3x²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與直線相交的性質(zhì)，此類題目一般計(jì)算量較大，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，其次要盡可能的簡(jiǎn)化運(yùn)算，以降低運(yùn)算量．