Question

設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，求m+n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，設(shè)m+n=x，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答： 解：圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑R=1，
則圓心到直線的距離d=

|m+1+n+1-2|

(m+1)2+(n+1)2

=

|m+n|

m2+n2+2(m+n)+2

=1，
即

m2+n2+2(m+n)+2

=|m+n|，
平方得m²+n²+2（m+n）+2=m²+2mn+n²，
即m+n+1=mn，
∵m+n+1=mn≤（

m+n

2

）²，
設(shè)m+n=x，則有x+1≤

x2

4

，
即x²-4x-4≥0，
解得x≥2+2

2

或x≤2-2

2

，
則m+n的取值范圍為（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．