Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

  
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上的減函數(shù)，求a的值；
（2）當(dāng)|x|≤2時(shí)，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求出g（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在（-∞，-2a）上單調(diào)遞減，由題意有（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），得不等式，解出a，
（2）由題意分類討論求函數(shù)f（x）的最小值，即g（a）即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

為二次函數(shù)，
圖象開口向上，關(guān)于直線x=-2a對(duì)稱，
在（-∞，-2a）上單調(diào)遞減，（-2a，+∞）上單調(diào)遞增，
若函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上的減函數(shù)，則（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），
則有-4≤-2a，解得a≤2．
（2）|x|≤2，則-2≤x≤2，
又由（1）可知，函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=-2a，
當(dāng)-2a＜-2，即a＞1時(shí)，函數(shù)在[-2，2]上單調(diào)遞增，x=-2時(shí)，取得最小值1-

3

2

a，則此時(shí)g（a）=1-

3

2

a，
當(dāng)-2≤-2a≤2，即-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)在x=-2a處取得最小值-a²+

a

2

，此時(shí)g（a）=-a²+

a

2

，
當(dāng)-2a＞2，即a＜-1時(shí)，函數(shù)在[-2，2]上單調(diào)遞減，x=2時(shí)，取得最小值1+

5

2

a，則此時(shí)g（a）=1+

5

2

a，
綜上，g（a）=

1+ 5 2 a，a＜-1 -a2+ a 2 ，-1≤a≤1 1- 3 2 a，a＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，主要是利用性質(zhì)求單調(diào)性和最值，屬于規(guī)律型題目，注意總結(jié)．