已知兩曲線y=x3+ax和y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且在點(diǎn)P處有公切線,則當(dāng) x≥
1
2
時,logb
ax2-c
x
的最小值為( 。
A、-1
B、1
C、2
D、
1
2
分析:先由曲線y=x3+ax經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),求得a值,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線y=x3+ax經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)的切線方程l;再由y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)的切線方程也是l,可求得b、c的值;最后代入logb
ax2-c
x
,利用均值定理求最小值即可
解答:解:將P(1,2)代入兩曲線y=x3+ax和y=x2+bx+c,得
a=1
b+c=1

設(shè)f(x)=x3+x,g(x)=x2+bx+c
∵f′(x)=3x2+1,∴f′(1)=4∵g′(x)=2x+b,∴g′(1)=2+b
∵兩曲線在點(diǎn)P處有公切線
∴f′(1)=g′(1)=2+b=4,
∴b=2,c=-1
logb
ax2-c
x
=log2
x2+1
x
=log2(x+
1
x
)
≥log22=1 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號)
故選B
點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和均值定理的運(yùn)用,解題時要抓住要害,準(zhǔn)確作答.
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已知兩曲線y=x3+ax和y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且在點(diǎn)P處有公切線,則當(dāng) x≥
1
2
時,logb
ax2-c
x
的最小值為(  )
A.-1B.1C.2D.
1
2

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已知兩曲線y=x3+ax和y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且在點(diǎn)P處有公切線,則當(dāng) 的最小值為( )
A.-1
B.1
C.2
D.

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