Question

已知函數(shù)f（x）=

x-lnx(x＞ 1 2 ) x2+2x+a-1(x≤ 1 2 )

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求x的范圍；當(dāng)x≤

1

2

時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得答案．
（2）當(dāng)x＞

1

2

時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)可求出零點(diǎn)；當(dāng)x≤

1

2

時(shí)對(duì)函數(shù)判別式進(jìn)行分析可得答案．

解答：解（1）當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≤

1

2

時(shí)，f（x）=x²+2x+a-1=（x+1）²+a-2，
∴f（x）在(-1，

1

2

)上是增函數(shù)
∴f（x）的遞增區(qū)間是（-1，

1

2

）和（1，+∞）．
（2）當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，由（1）知f（x）在（

1

2

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增且f′（1）=0．
∴f（x）有極小值f（1）=1＞0，
此時(shí)f（x）無零點(diǎn)．當(dāng)x≤

1

2

時(shí)，f（x）=x²+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
當(dāng)△＜0，即a＞2時(shí)，f（x）無零點(diǎn)．
當(dāng)△=0，即a=2時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)-1．
當(dāng)△＞0，且f（

1

2

）≥0時(shí)，
即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1≥0

∴-

1

4

≤a＜2時(shí)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)：
x=

-2+ 8-4a

2

或x=

-2- 8-4a

2

，即x=-1+

2-a

或x=-1-

2-a

當(dāng)△＞0且f（

1

2

）＜0，即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1＜0

∴a＜-

1

4

時(shí)，f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)-1-

2-a

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系和函數(shù)零點(diǎn)的求法．屬中檔題．