Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+nx+2；
（1）如果函數f（x）有兩個極值點-1和2，求實數m、n的值；
（2）若函數f（x）有兩個極值點x₁和x₂，且x₁∈[-1，1]，x₂∈[1，+∞]，求（m-2）²+（n-1）²的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，得到故f′（x）=（x+1）（x-2），從而求出m，n的值，（2）由題意得不等式組，畫出草圖，將問題轉化為求|AB|的長．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+nx+2，
故f′x）=x²+mx+n，
函數f（x）有兩個極值點-1和2，
故f′（x）=（x+1）（x-2），
∴m=-1，n=-2．
經檢驗，m=-1，n=-2滿足題意．
（2）由函數f（x）有兩個極值點x₁和x₂，且x₁∈[-1，1]，x₂∈[1，+∞），
故有

f′(-1)=1-m+n＞0 f′(1)=1+m+n＜0

，即

m-n-1＜0 m+n+1＜0

，
畫出上述不等式組的可行域Ω如右圖：

又（m-2）²+（n-1）²表示點（m，n）到點A（2，1）距離的平方．
而點A（2，1）到可行域Ω的點的最小距離是點A到點B（0，-1）的距離．
|AB|=

(2-0)2+(1+1)2

=2

2

∴（m-2）²+（n-1）²的最小值是|AB|²=(2

2

)2=8，
此時，m=0，n=-1；
經檢驗，m=0，n=-1滿足題意．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性問題，函數的最值問題，滲透了數形結合思想，是一道中檔題．