在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:x2=4y,直線l:y=-1.PA、PB為C的兩切線,切點(diǎn)為A,B.
(Ⅰ)求證:“若P在l上,則PA⊥PB”是真命題;
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說(shuō)明理由.
(Ⅰ)證明:由x
2=4y得
,對(duì)其求導(dǎo)得
.┅┅┅┅┅┅┅(2分)
設(shè)
,則直線PA,PB的斜率分別為
.
由點(diǎn)斜式得
,∴
.①┅┅┅┅┅(4分)
,∴
.②,┅┅┅┅┅┅(5分)
由①②可得點(diǎn)
,
因?yàn)镻在l上,所以
,┅┅┅┅(7分)
所以
,所以PA⊥PB.┅┅┅┅┅┅(8分)
(Ⅱ)解:(Ⅰ)中命題的逆命題為:若PA⊥PB,則P在直線l上.為真命題.┅┅(10分)
事實(shí)上,由原命題可知,設(shè)
,
且
,∴
.①
,∴
.②,
由①②可得點(diǎn)
,┅┅┅┅┅┅┅(12分)
又PA⊥PB,所以
,
即y
p=-1,從而點(diǎn)P在l上.┅┅┅┅┅(14分)
分析:(Ⅰ)根據(jù)拋物線方程設(shè)出A,B的坐標(biāo),把A,B點(diǎn)代入拋物線方程,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而分別表示出直線PA,PB的斜率,利用點(diǎn)斜式表示出兩直線的方程,聯(lián)立求得交點(diǎn)P的坐標(biāo),代入直線l的方程,即可證得結(jié)論;
(Ⅱ)根據(jù)PA⊥PB推斷出
,進(jìn)而P在l上,由此可得答案.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用,考查命題及逆命題真假的判斷,考查了學(xué)生推理能力和基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.