Question

 已知定圓A：(x＋1)²＋y²＝16圓心為A，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B(1,0)且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C.

   （I）求曲線C的方程；

   （II）若點(diǎn)P(x₀,y₀)為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線l: 3x₀x＋4y₀y－12＝0與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（I）圓A的圓心為A(－1，0)，半徑r₁＝4，

設(shè)動(dòng)圓M的圓心M(x,y),半徑為r₂，依題意有r₂＝|MB|，

由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，

故|MA|＝r₁—r₂，即|MA|＋|MB|＝4，

所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．                           （4分）

設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，由2a＝4,2c＝2,可得a²＝4,b²＝3，

故曲線C的方程為＋＝1．  （6分）

   （II）當(dāng)y₀＝0時(shí)，由＋＝1 可得y₀＝±2，

當(dāng)x₀＝2，y₀＝0時(shí)，直線l的方程為x＝2，此時(shí)，

直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2，0) ，

當(dāng)x₀＝－2，y₀＝0時(shí)，直線l的方程為x＝－2，此時(shí)，

直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(－2，0) ，    9分

當(dāng)y₀≠0時(shí)，聯(lián)立 ，

消去y，得(3x₀²＋4y₀²)xx₀x＋y₀²＝0，        ①         （10分）

注意到, P(x₀,y₀)為曲線C上一點(diǎn)，即＋＝1，

于是方程①可以化簡(jiǎn)為xx₀x＋x₀²＝0 ，解得x＝x₀，y＝y₀ ，

即直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(x₀,y₀)，

綜上，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為P(x₀,y₀)．               （12分）

評(píng)析：解析幾何中的軌跡問(wèn)題一直是出題的重要方向，圓錐曲線不考察第二定義以后，由圓在內(nèi)構(gòu)造的軌跡問(wèn)題成為主要的出題方向（容易構(gòu)造），需要考生注意平時(shí)積累；直線與圓、圓錐曲線間的位置關(guān)系的判定、證明、求值能有效考察考生的運(yùn)算能力；