已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),且f(2)=

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并加以證明.

答案:
解析:

  解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),

  ∴對定義域內(nèi)的任意的x,都有f(-x)=-f(x),

  即,整理得q+3x=-q+3x.

  ∴q=0.①

  又∵f(2)=,∴f(2)=,解得p=2.②

  ∴所求解析式為f(x)=

  (2)由(1)可得f(x)=(x+),函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),并且由于f(x)是奇函數(shù),可先考察其在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

  設(shè)0<x1<x2,則由于

  f(x1)-f(x2)=[(x2)-(x1)]=[(x2-x1)+()]

  =[(x2-x1)+(x1-x2)(-1)]=(x1-x2,③

  因此,當(dāng)0<x1<x2≤1時(shí),0<x1x2<1,從而得到f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),

  ∴(0,1]是f(x)的增區(qū)間.

  當(dāng)1≤x1<x2時(shí),由上述③式可得f(x1)<f(x2),

  ∴[1,+∞)是f(x)的減區(qū)間.

  綜上所述,f(x)的增區(qū)間是[-1,0)和(0,1];減區(qū)間是(-∞,-1]和[1,+∞).


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省高一10月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)m的值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修1單調(diào)性與最大(。┲稻毩(xí)卷(二)(解析版) 題型:選擇題

(2009廣西北海一檢,文10)已知函數(shù)f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是(  )

A.(0,3)                          B.(0,3]

C.(0,2)                          D.(0,2]

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503512729687978/SYS201205250353498437943046_ST.files/image002.png">.

(1) 試求a、b的值;

(2) 函數(shù)y=g(x)(x∈R)滿足:

條件1: 當(dāng)x∈[0,3)時(shí),g(x)=f(x);條件2: g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).

① 求函數(shù)g(x)在x∈[3,9)上的解析式;

② 若函數(shù)g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是閉區(qū)間,試探求m的取值范圍,并說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆度遼寧省沈陽市高三數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f()=.

 

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);

(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)m的值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案