Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-3=0的距離為2

2

，設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得d=

|0-c-3|

2

=2

2

，由此能求出拋物線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由x²=4y，得y′=

1

2

x，由此能求出直線AB的方程為x₀x-2y-2y₀=0，由拋物線定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁+y₂+y₁y₂+1，聯(lián)立

x2=4y x0x-2y-2y0=0

，消去x，得y2+(2y0-x02)y+y02=0，從而|AF|•|BF|=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，由此能求出|AF|•|BF|取得最小值

9

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-3=0的距離為2

2

，
∴d=

|0-c-3|

2

=2

2

，解得c=1，或c=-7（舍），
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由x²=4y，即y=

1

4

x2，得y′=

1

2

x，
∴拋物線C在A處的切線PA的方程為y-y₁=

x1

2

（x-x₁），
即y=

x1

2

x+y1-

1

2

x12，
∵y1=

1

4

x12，∴y=

x1

2

x-y1，
∵P（x₀，y₀）在切線l₁上，∴y0=

x1

2

x0-y1，①
同理，y0=

x2

2

x0-y2，②
綜合①②，得，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐標(biāo)都滿足方程y0=

x

2

x0-y，
∵經(jīng)過A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點的直線是唯一的，
∴直線AB的方程為y0=

x

2

x0-y，即x₀x-2y-2y₀=0，
由拋物線定義知：
|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁+y₂+y₁y₂+1，
聯(lián)立

x2=4y x0x-2y-2y0=0

，消去x，得y2+(2y0-x02)y+y02=0，
∴y1+y2=x02-2y0，y1y2=y02，
∵x₀-y₀-2=0，
∴|AF|•|BF|=y02-2y0+x02+1
=y02-2y0+(y0+2)2+1
=2y02+2y0+5
=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，
∴當(dāng)y0=-

1

2

時，|AF|•|BF|取得最小值

9

2

．

點評：本題考查拋物線C的方程的求法，考查|AF|•|BF|的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．