Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0．若x大于等于0時，f（x）為增函數(shù)，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=1可得f（1）=0；再令x=y=-1，可得f（-1）=0；再令x=-1代入得f（-y）=f（y），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；再將f（x+1）-f（2-x）≤0變形為f（x+1）≤f（2-x），結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得到不含“f”符號的關(guān)于x的不等式，解之即可．

解答： 解：令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），可得f（1）=0，
同理令x=y=-1，可得f（-1）=0，
再令x=-1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（-y）=f（y），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
f（x+1）-f（2-x）≤0可化為f（x+1）≤f（2-x），
又∵x≥0時，f（x）為增函數(shù)，
結(jié)合偶函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，當自變量取值的絕對值越小時，函數(shù)值越小，
∴|x+1|≤|2-x|，
∴（x+1）²≤（2-x）²，解得x≤

1

2

，
∴所求集合為{x|x≤

1

2

}．

點評：此類問題一般先利用賦值法求出特殊點的函數(shù)值，判斷函數(shù)的奇偶性等性質(zhì)，再借助于圖象得直觀性的得到我們需要的隱含條件，最終得到關(guān)于x的具體的不等式，解之即可；這個題利用了偶函數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系構(gòu)造了關(guān)于x的不等式，最后不要忽視結(jié)果要寫成集合形式．