Question

（12分）（2011•福建）如圖，直線(xiàn)l：y=x+b與拋物線(xiàn)C：x²=4y相切于點(diǎn)A．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）b=﹣1（Ⅱ）（x﹣2）²+（y﹣1）²=4

試題分析：（I）由，得：x²﹣4x﹣4b=0，由直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，知△=（﹣4）²﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出實(shí)數(shù)b的值．
（II）由b=﹣1，得x²﹣4x+4=0，解得x=2，代入拋物線(xiàn)方程x²=4y，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)y=﹣1的距離，由此能求出圓A的方程．
解：（I）由，消去y得：x²﹣4x﹣4b=0①，
因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，
所以△=（﹣4）²﹣4×（﹣4b）=0，
解得b=﹣1；
（II）由（I）可知b=﹣1，
把b=﹣1代入①得：x²﹣4x+4=0，
解得x=2，代入拋物線(xiàn)方程x²=4y，得y=1，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），
因?yàn)閳AA與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)y=﹣1的距離，
即r=|1﹣（﹣1）|=2，
所以圓A的方程為：（x﹣2）²+（y﹣1）²=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．