Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=$\sqrt{3}$CD，△APB是等邊三角形，且側面APB⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點．
（1）求證：PA∥平面DEF．
（2）求平面DEF與平面PCD所成的二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結AC，交DF于O，連結OF，推導出四邊形CDFB是平行四邊形，從而DF∥BC，進而O是AC中點，由此得到OE∥PA，從而能證明PA∥平面DEF．
（2）以F為原點，F(xiàn)A為x軸，DF為y軸，F(xiàn)P為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面DEF與平面PCD所成的二面角（銳角）的余弦值．

解答 證明：（1）連結AC，交DF于O，連結OF，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，
E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點．
∴CD$\underset{∥}{=}$BF，∴四邊形CDFB是平行四邊形，∴DF∥BC，
∴O是AC中點，∴OE∥PA，
∵PA?平面DEF，OE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF．
解：（2）∵在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，
△APB是等邊三角形，且側面APB⊥底面ABCD，F(xiàn)是AB的中點，
∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD，
以F為原點，F(xiàn)A為x軸，DF為y軸，F(xiàn)P為z軸，建立空間直角坐標系，
設BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，則D（0，-$\sqrt{3}$，0），C（-1，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（0，0，0），
$\overrightarrow{FD}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
設平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
設平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-a-\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴平面DEF與平面PCD所成的二面角（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面平行的判定與性質，考查利用二面角的余弦值的求法；考查邏輯推理與空間想象能力，運算求解能力；考查數(shù)形結合、化歸轉化思想．