Question

函數f（x）=log_a|x+1|，當x∈（-1，0）時，恒有f（x）＞0，有（　�。�

• A、f（x）在（-∞，-1）上是增函數
• B、f（x）在（-∞，0）上是減函數
• C、f（x）在（0，+∞）上是增函數
• D、f（x）在（-∞，+∞）上是減函數

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據x的取值范圍，結合對數函數的單調性，即可求出0＜a＜1，然后根據復合函數單調性之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：設t=|x+1|，
則當x∈（-1，0）時，t=|x+1|=x+1，為增函數，
且t∈（0，1），
則y=log_at，
∵當x∈（-1，0）時，恒有f（x）＞0，
即在t∈（0，1），log_at＞0，
∴0＜a＜1，
∴此時y=log_at為減函數，
∴要使函數f（x）=log_a|x+1|為增函數，
則根據復合函數單調性之間的關系可知t=|x+1|為減函數，
∵t=|x+1|在（-∞，-1）上是減函數，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函數，
故選：A．

點評：本題主要考查復合函數單調性的判斷和應用，根據條件結合對數函數的圖象和性質求出a的取值范圍是解決本題的關鍵．