Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（1）=3，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜2x+1，則不等式f（2x）＜4x²+2x+1的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先由f'（x）＜2x+1，知函數(shù)g（x）=f（x）-（x²+x）為R上的減函數(shù)，再將f（1）=3化為g（1）=1，將所解不等式化為g（2x）＜g（1），最后利用單調(diào)性解不等式即可

解答： 解：∵f′（x）＜2x+1，
∴f′（x）-（2x+1）＜0，
即[f（x）-（x²+x）]′＜0
設(shè)g（x）=f（x）-（x²+x）
則g（x）在R上為減函數(shù)，
∵f（1）=3，
∴g（1）=f（1）-（1²+1）=3-2=1
∵f（2x）＜4x²+2x+1=（2x）²+2x+1，
∴f（2x）-[（2x）²+2x]＜1，
∴g（2x）＜1=g（1）
∴2x＞1，
解得x＞

1

2

故答案為：（

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．是中檔題