Question

PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正確命題的序號(hào)是________．

Answer 1

①②③
分析：對(duì)于①②③可根據(jù)直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明，對(duì)于④利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，則AF∥AE，顯然不成立，從而得到結(jié)論．
解答：解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面
∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A
∴BC⊥面PAC，又∵AF?面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C
∴AF⊥面PCB，而BC?面PCB，∴AF⊥BC，故③正確；
而PB?面PCB，
∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥面AEF，
而EF?面AEF，AF?面AEF
∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正確，
∵AF⊥面PCB，假設(shè)AE⊥面PBC
∴AF∥AE，顯然不成立，故④不正確．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．