Question

已知命題p：f^-1（x）是f（x）=1-3x的反函數(shù)，且|f^-1（a）|＜2；命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=Ф．
（Ⅰ）解不等式|f^-1（a）|＜2
（Ⅱ）求使命題p，q中有且只有一個(gè)真命題時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題是以命題及其關(guān)系為載體，部分考查反函數(shù)的問(wèn)題，
對(duì)于（Ⅰ）首先求出f（x）=1-3x的反函數(shù)f^-1（x），然后建立不等式|f^-1（a）|＜2即可求得a的范圍，
對(duì)于（Ⅱ）要考慮集合A=∅和集合 A≠∅兩種情況分別求出a的范圍，然后取并集可得a的范圍，
對(duì)于p，q中有且只有一個(gè)真命題要注意p真q假和p假q真兩種情況．

解答：解：（Ⅰ）由y=1-3x可得f^-1（x）=

1-x

3

…（2分）
又由|f-1(a)|＜2即|

a-1

3

|＜2…（3分）
解得：p：-5＜a＜7…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0時(shí)，A=Ф，
此時(shí)A∩B=Ф…（5分）
又當(dāng)△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0時(shí)A∩B=Ф?

a≤-4或a≥0     x1+x2=-(a+2)＜0     x1x2=1＞0

…（6分）
解得：a≥0
∴q：a＞-4…（8分）
（1）當(dāng)p真q假時(shí)，

-5＜a＜7   a≤-4

∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）當(dāng)p假q真時(shí)，

a≤-5或a≥7   a＞-4

∴a≥7…（10分）
∴當(dāng)a∈（-5，-4]∪[7，+∞）時(shí)，p，q中有且只有一個(gè)為真命題…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，過(guò)程多，是易錯(cuò)題，有兩點(diǎn)值得引起注意，其一滿(mǎn)足A∩B=∅要考慮A=∅，A≠∅兩種情況；
其二對(duì)于“p，q中有且只有一個(gè)真命題”也要注意p真q假和p假q真兩種情況．