Question

8．已知圓C：（x-a）²+（y-2+a）²=1，點A（3，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）若a=1，求圓C過點A的切線方程；
（Ⅱ）若直線l：x-y+1=0與圓C交于M、N兩點，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）若圓C上存在點P，滿足|OP|=2|AP|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1，求出圓C的圓心，利用點斜式設切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑求解k，可得切線方程；
（Ⅱ）利用舍而不求的思想，設M，N的坐標，利用韋達定理，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，可求a的值；
（Ⅲ）設出P的坐標，利用|OP|=2|AP|，求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，可得圓心為（1，1），半徑為r=1．
設斜率存在，過點A的切線方程為：y=k（x-3），A（3，0）在圓外，有兩條切線方程．
則由r=d=$\frac{|k-1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=$-\frac{4}{3}$．
∴過點A的切線方程為y=0，或4x+3y-12=0．
（Ⅱ）直線l：x-y+1=0與圓C交于M、N兩點，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{2}$…①
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{（x-a）}^{2}+（{y-2+a）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，可得：x₁x₂=a²-a…②
消去x，可得：y₂y₁=a²-a+2…③
把②③代入①解得：a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）圓C：（x-a）²+（y-2+a）²=1，圓心為（a，2-a），半徑r=1，
圓心在直線y=2-x上，
設P坐標為（x，y），
∵|OP|=2|AP|，
可得：x²+y²=4（x-3）²+4y²
化簡可得：x²+y²-8x+12=0，
表示圓心為（4，0），半徑r=2的圓．
圓C的圓心為（a，2-a），半徑r=1，
圓心在直線y=2-x上，如圖：
兩圓心的最大距離為1+2=3，
即兩圓心的最大距離d≤3，
故得：（4-a）²+（0-2+a）²≤3，
解得：$\frac{5}{2}≤a≤\frac{7}{2}$，
故得a的取值范圍是[$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題考查圓的切線方程，點到直線的距離公式，圓與圓之間的關系和韋達定理的運用，考查了計算能力，綜合性強．