已知各項均為正數的數列{a}滿足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.
(Ⅰ)若b=,求數列{b}的通項公式;
(Ⅱ)證明:++…+>(n≥2).
(1)b=(n∈N)
(2)構造函數借助于函數的最值來證明不等式。
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)因為a=2a+aa,即(a+a)(2a-a)=0. 1分
又a>0,所以有2a-a=0,即2a=a
所以數列是公比為2的等比數列, 3分
由得,解得。
從而,數列{a}的通項公式為a=2(n∈N),即:b=(n∈N). 5分
(Ⅱ)構造函數f(x)=-(b-x)(x>0),
則f′(x)=-+=,
當0<x<b時,f′(x)>0,x>b時,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=,所以f(x)≤. 7分
即≥-(b-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的條件是x=b(i=1,2,3…n),
所以++…+>-(b+b+…+b-nx), 9分
令x=,則++…+>,
所以++…+>, 11分
即++…+>(n≥2). 12分
考點:數列與導數、不等式
點評:解決的關鍵是能利用等比數列來求解通項公式,同時能結合導數來拍腦袋函數單調性,以及求解函數的最值,同時證明不等式,屬于中檔題。
科目:高中數學 來源: 題型:
Tn+1+12 |
4Tn |
2log2bn+1+2 |
2log2bn-1 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源:青島二模 題型:解答題
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4Tn |
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2log2bn-1 |
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科目:高中數學 來源:《第2章 數列》、《第3章 不等式》2010年單元測試卷(陳經綸中學)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數學 來源:2012年高考復習方案配套課標版月考數學試卷(二)(解析版) 題型:解答題
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