Question

已知g（2x+1）=x²+1，求g（x），并求使方程g（|x|）=m有4個不同的根的m取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出g（x）的表達(dá)式，從而求出g（|x|）的表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題，畫出圖象即可求出答案．

解答： 解：令t=2x+1，⇒x=

t-1

2

，
g（t）=

1

4

（t²-2t+5），
∴g（x）=

1

4

（x²-2x+5），∴
g（|x|）=

1

4

（|x|²-2|x|+5）
=

1 4 (x2-2x+5)，x≥0 1 4 (x2+2x+5)，x＜0

=

1 4 (x-1)2+1，x≥0 1 4 (x+1)2+1，x＜0

，
繪圖：如圖示：
g（|x|）=m有4個不同的根等價于直線y=m與曲線g（|x|）有四個不同交點]，
∴m∈（1，

5

4

）．．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的零點問題，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．