Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n，且m≠n，不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立?

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

＞1恒成立，由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，表示點(diǎn)（m+1，f（m+1）） 與點(diǎn)（n+1，f（n+1））連線的斜率，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可將問題轉(zhuǎn)化為在（1，2）上f′（x）=

a

x

-2x＞1，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，
表示點(diǎn)（m+1，f（m+1）） 與點(diǎn)（n+1，f（n+1））連線的斜率，
因?qū)崝?shù)m，n在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故m+1和n+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
∵不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立?

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．
∵f（x）=alnx-x²，
∴f′（x）=

a

x

-2x，
又函數(shù)f′（x）=

a

x

-2x在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴在（1，2）上f′（x）=

a

x

-2x＞1?f′（2）≥1，
即a≥6，
故答案為：a≥6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率的概念等知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于難題．