Question

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+

10

3

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）討論方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₂）成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在（1，f（1））處的切線方程得到f′（1）和f（1）的值，聯(lián)立方程組求得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函數(shù)f（x）d的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[0，3]上的值域，然后對(duì)k-2分類討論分析方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)分析出g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的極值與在區(qū)間[-1，2]上的端點(diǎn)值，由題意得到
g（x）⊆f（x），然后對(duì)m分類列不等式求解m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，得
f′（x）=x²+2ax+b，
∵f′（1）=-3，f（1）=-3×1+

10

3

=

1

3

，
∴

2a+b=-4 a+b=-4

，解得：

a=0 b=-4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-4，f（x）=

1

3

x3-4x+4，
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，原函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，原函數(shù)為增函數(shù)，
又f（0）=4，f（2）=-

4

3

，f（3）=1．
∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)∈[-

4

3

，4]．
①當(dāng)k-2＜-

4

3

或k-2＞4，即k＜

2

3

或k＞6時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k-2無交點(diǎn)，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個(gè)數(shù)是0．
②當(dāng)-

4

3

＜k-2≤1，即

2

3

＜k≤3時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k-2有2個(gè)交點(diǎn)，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個(gè)數(shù)是2．
③當(dāng)1＜k-2≤4，即3＜k≤6時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k-2有1個(gè)交點(diǎn)，
或k=

2

3

時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k-2有1個(gè)交點(diǎn)，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個(gè)數(shù)是1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)∈[-

4

3

，4]．
又g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），
∴g′（x）=3mx²-12mx=3mx（x-4），
令g′（x）=0，得x=0，
又g（-1）=2-7m，g（0=2），g（2）=2-16m，
由題意知g（x）⊆f（x），
當(dāng)m＞0時(shí)，g（0）=2＜4，
g（-1）=2-7m≥-

4

3

，
g（2）=2-16m≥-

4

3

，
解得0＜m≤

5

24

；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（2）=2-16m≤4，
g（-1）=2-7m≤4，
解得-

1

8

≤m＜0．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m≤

5

24

或-

1

8

≤m＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答（Ⅲ）時(shí)對(duì)題意的正確理解是關(guān)鍵，是壓軸題．