Question

已知二次函數(shù).

（Ⅰ）若，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有.若對于任意的實(shí)數(shù)，存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，試求用表示的表達(dá)式.

Answer 1

（Ⅰ）或；

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把已知代入函數(shù)解析式，分 和b＜0由對稱軸的范圍求得b的范圍；（Ⅱ）由 ，把f（x）的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為僅含有a的代數(shù)式，然后分 討論，當(dāng) 時(shí)借助于函數(shù)的單調(diào)性分析求解．

試題解析：：（Ⅰ）方法一:由于已知得,圖像過定點(diǎn),且由在

上單調(diào)遞增,可知圖像與軸在上沒有交點(diǎn).

①當(dāng)時(shí),要使在上單調(diào)遞增,可知在恒成立, 則只須對稱軸,得;

②當(dāng)時(shí), 要使在上單調(diào)遞增,可知在恒成立, 則只須對稱軸,得;

綜上所述, 或 .

（Ⅱ）由得,且，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062206041293854617/SYS201506220604165637274329_DA/SYS201506220604165637274329_DA.025.png">,即得.

①當(dāng)時(shí),,在定義域上單調(diào)遞減,

,所以.

②當(dāng)時(shí),,拋物線開口向上,對稱軸,

,最小值為.

（�。┊�(dāng)時(shí),即,解得,

要使在恒成立,此時(shí)的最大值為的解中較大的根,所以.

（ⅱ）當(dāng)時(shí), 即,解得,

此時(shí)令,解得,

要使在恒成立,此時(shí)為其中較小的根,知.

綜上可得

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．