Question

函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若a＜0，對于任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求導函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（II）|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

，設h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，則|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求導函數(shù)，即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分離法將a分離出來，從而求出a的范圍．

解答： 解：（I）由題意，x＞0，f′（x）=1-

a

x

．
若a≤0時，f′（x）＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）不存在極值；
當a＞0時，∵x＞a時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；0＜x＜a時，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，a）上是減函數(shù)，
∴x=a時，函數(shù)f（x）有極小值f（a）=a-1-alna；
（II）當a＜0時，由（I）知函數(shù)f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，又函數(shù)y=

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)
不妨設0＜x₁≤x₂≤1
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

設h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
則|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
∵h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]內(nèi)的最大值．
而函數(shù)y=x-

4

x

在（0，1]是增函數(shù)，∴y=x-

4

x

的最大值為-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題的應用，同時考查了計算能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．