某商場統(tǒng)計了去年各個季度冰箱的進貨資金情況,得到如下數(shù)據(jù):
季       度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
進貨資金(單位:萬元) 42.6 38.3 37.7 41.4
(1)試求該商場去年冰箱的“季擬合進貨資金m”的值(m是這樣的一個量:它與各個季度進貨資金差的平方和最。;
(2)該商場今年第一個季度對冰箱進貨時,計劃進貨資金比去年季擬合進貨資金增長25%.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),銷售“節(jié)能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤P(萬元)和Q(萬元)與進貨資金t(萬元)分別近似地滿足公式P=
1
4
t和Q=
20t
t+20
,那么該商場今年第一個季度應(yīng)如何分配進貨資金,才能使銷售冰箱獲得的利潤最大?最大利潤是多少萬元?
分析:(1)利用m與各個季度進貨資金差的平方和,結(jié)合配方法,求出最小,即可得到結(jié)論;
(2)求出今年第一季度的進貨資金,再構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式,利用換元、基本不等式,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)四個季度的進貨資金分別為a1,a2,a3,a4,
則M=(m-a1)2+(m-a2)2+(m-a3)2+(m-a4)2=4m2-2(a1+a2+a3+a4)m+a12+a22+a32+a42 …(3分)
所以當m=
a1+a2+a3+a4
4
時,M最小…(5分)
故所求的季擬合進貨資金m=
42.6+38.3+37.7+41.4
4
=40
萬元…(7分)
(2)因為今年第一季度的進貨資金為40×(1+25%)=50萬元,設(shè)用于普通冰箱的進貨資金為x萬元,則用于節(jié)能冰箱的進貨資金為(50-x)萬元,
從而銷售冰箱獲得的利潤為y=P+Q=
1
4
(50-x)+
20x
x+20
(0≤x≤50)…(10分)
令s=x+20(s∈[20,70],則y=
75
2
-(
s
4
+
400
s
)
75
2
-2
s
4
×
400
s
=
35
2
…(12分)
當且僅當s=40,即x=20時,y取得最大值為17.5,
所以當用于節(jié)能冰箱的進貨資金為30萬元,用于普通冰箱的進貨資金為20萬元時,可使銷售冰箱的利潤最大,最大為17.5萬元…(14分)
點評:本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題,考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
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季    度第一季度第二季度第三季度第四季度
進貨資金(單位:萬元)42.638.337.741.4
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(2)該商場今年第一個季度對冰箱進貨時,計劃進貨資金比去年季擬合進貨資金增長25%.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),銷售“節(jié)能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤P(萬元)和Q(萬元)與進貨資金t(萬元)分別近似地滿足公式P=數(shù)學公式t和Q=數(shù)學公式,那么該商場今年第一個季度應(yīng)如何分配進貨資金,才能使銷售冰箱獲得的利潤最大?最大利潤是多少萬元?

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