Question

函數(shù)y=

1

1-x

與函數(shù)y=2sinπx，x∈[-2，4]的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和=

8

．

Answer 1

分析：y₁=

1

1-x

的圖象由奇函數(shù)y=-

1

x

向右平移1個(gè)單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心公式，可得函數(shù)y₂=2sinπx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心也是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案．

解答：解：函數(shù)y₁=

1

1-x

，y₂=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y₁＜0
而函數(shù)y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是減函數(shù)；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4上是增函數(shù)．
∴函數(shù)y₁在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y₂的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H
相應(yīng)地，y₁在（-2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y₂的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對(duì)稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y₂=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間（1，4）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在．