第20題圖
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)p(0,4)的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn),交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合),當(dāng)=λ1=λ2,且λ1+λ2=時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
答案:(1)設(shè)雙曲線方程為=1.由橢圓=1,
求得兩焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0)
∴對(duì)于雙曲線C:c=2,又y=為雙曲線C的一條漸近線
∴,解得a2=1,b2=3
∴雙曲線C的方程為x2=1.
(2)解法一:由題意知直線z的斜率k存在且不等于零設(shè)f的方程為:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0)
∵
∴()=λ1(x1+,y1)
∴,解得
∵A(x1,y1)在雙曲線C上,∴-1=0
∴16+32λ1+=0
∴(16-k2)+32λ2+16=0
同理有:(16-k2)+32λ2+16=0
若16-k2=0,則直線l過(guò)頂點(diǎn),不合題意
∴16-k2≠0
∴λ1,λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16=0的兩根
∴λ1+λ2=
∴k2=4,此時(shí)△>0,∴k=±2
∴所求Q的坐標(biāo)為(±2,0).
解法二:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零
設(shè)l的方程為:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0)
∵ ∴Q分的比為λ1
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得:
即得,下同解法一.
解法三:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零
設(shè)l的方程為:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0)
∵
∴(,-4)=λ1(x1+,y1)=λ2(x2+,y2)
∴-4=λ1y1=λ2y2
∴λ1=,λ2=
又λ1+λ2=
∴,即3(y1+y2)=2y1y2
將y=k+4x+4代入x2=1得:(3-k2)y2-24y+48-3k2=0
∵3-k2≠0(否則,l與漸近線平行)
∴y1+y2=,y1y2=
∴3·=2·,∴k=±2
∴Q(±2,0).
解法四:由題意知直線1的斜率k存在且不等于零
設(shè)l的方程為:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0)
∵,∴(,-4)=λ1(x1+,y1)
∴λ1=
同理λ2=,λ1+λ2=
即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0 (*)
又由消去y,得(3-k2)x2-8kx-19=0
當(dāng)3-k2=0時(shí),則直線z與雙曲線的漸近線平行,不合題意,3-k2≠0
由韋達(dá)定理有:
代入(*)式得k2=4,k=±2
∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(±2,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆山東濟(jì)寧市高二上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,橢圓、與雙曲線、的離心率分別是、與、, 則、、、的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷C(四)(解析版) 題型:填空題
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