Question

如圖所示，雙曲線C與橢圓=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線

第20題圖

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)p(0，4)的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)，當(dāng)=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：(1)設(shè)雙曲線方程為=1．由橢圓=1，

求得兩焦點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)

∴對(duì)于雙曲線C：c=2，又y=為雙曲線C的一條漸近線

∴，解得a²=1，b²=3

∴雙曲線C的方程為x²=1．

(2)解法一：由題意知直線z的斜率k存在且不等于零設(shè)f的方程為：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則Q(，0)

∵

∴()=λ₁(x₁+，y₁)

∴，解得

∵A(x₁，y₁)在雙曲線C上，∴-1=0

∴16+32λ₁+=0

∴(16-k²)+32λ₂+16=0

同理有：(16-k²)+32λ₂+16=0

若16-k²=0，則直線l過(guò)頂點(diǎn)，不合題意

∴16-k²≠0

∴λ₁，λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16=0的兩根

∴λ₁+λ₂=

∴k²=4，此時(shí)△＞0，∴k=±2

∴所求Q的坐標(biāo)為(±2，0)．

解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零

設(shè)l的方程為：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則Q(，0)

∵  ∴Q分的比為λ₁

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

即得，下同解法一．

解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零

設(shè)l的方程為：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則Q(，0)

∵

∴(，-4)=λ₁(x₁+，y₁)=λ₂(x₂+，y₂)

∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂

∴λ₁=，λ₂=

又λ₁+λ₂=

∴，即3(y₁+y₂)=2y₁y₂

將y=k+4x+4代入x²=1得：(3-k²)y²-24y+48-3k²=0

∵3-k²≠0(否則，l與漸近線平行)

∴y₁+y₂=，y₁y₂=

∴3·=2·，∴k=±2

∴Q(±2，0)．

解法四：由題意知直線1的斜率k存在且不等于零

設(shè)l的方程為：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則Q(，0)

∵，∴(,-4)=λ₁(x₁+,y₁)

∴λ₁=

同理λ₂=，λ₁+λ₂=

即2k²x₁x₂+5k(x₁+x₂)+8=0                                                      (*)

又由消去y，得(3-k²)x²-8kx-19=0

當(dāng)3-k²=0時(shí)，則直線z與雙曲線的漸近線平行，不合題意，3-k²≠0

由韋達(dá)定理有：

代入(*)式得k²=4，k=±2

∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(±2，0)．