Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，過橢圓左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為60°的直圓交于CD兩點(diǎn)，A₂為橢圓的右頂點(diǎn)，求△CDA₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出CD的方程，代入 x²+2y²=2 求得交點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出|CD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)A₂到直線CD的距離d，即可得出S=

1

2

•|CD|•d，

解答： 解：橢圓

x2

2

+y²=1，過橢圓左焦點(diǎn)F₁（-1，0），作傾斜角為60°的直圓交于CD兩點(diǎn)，
CD的方程為：y=

3

x+

3

，
把 y=

3

x+

3

 代入 x²+2y²=2 得7x²+12x+4=0，
解得x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

，
∴|CD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+3

|x₁-x₂|=2

(- 12 7 )2-4× 4 7

=

8 2

7

．
點(diǎn)A₂（

2

，0）到直線CD的距離d=

| 6 + 3 |

1+3

=

6 + 3

2

，
△CDA₂的面積S=

1

2

•|CD|•d=

1

2

×

8 2

7

×

6 + 3

2

=

2( 6 +2 3 )

7

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓相交問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．