Question

設橢圓（a＞b＞0）的長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（I）求橢圓的方程；
（II）過定點M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0為常數(shù)）作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點A．B，問在x軸上是否存在一點N，使直線NA與NB的傾斜角互補？若存在，求出N點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得解之得從而．
∴橢圓方程為． …（4分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-m），
聯(lián)立方程得消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）
∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），
則，，（*）
因為直線NA與NB的傾斜角互補等價于k_NA+k_NB=0，…（8分）
所以，即，…（9分）
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
將（*）式代入上式得，
整理得mn=4，∵m≠0，∴，所以，N點存在，且坐標為，
因此，存在點N使得直線NA與NB的傾斜角互補． …（12分）
分析：（I）直接利用長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線列出關于a，b，c的方程，再求出a，b，c即可求出橢圓的方程；
（II）把 直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出點A．B的坐標和點N的坐標之間的關系，再結合直線NA與NB的傾斜角互補的對應結論k_NA+k_NB=0，即可求出N點坐標．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決這一類型題目的常用方法是：把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，求出直線與圓錐曲線交點之間的關系；再結合其它條件來求對應結論．