【題目】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）A是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，橢圓上是否存在兩點(diǎn)M，N，使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)，并求出直線MN；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3個(gè)．

【解析】

試題先用待定系數(shù)法求出橢圓方程，因?yàn)?/span>，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，設(shè)的斜率為，則的斜率為，寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理把，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，由，列出方程求出值.

試題解析：(Ⅰ)由題解得，．所以橢圓Ω的方程為．

(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)AM所在直線的方程為，不妨設(shè)，則直線AM所在的方程為．

聯(lián)立方程消去整理得，解得，將代入可得，故點(diǎn) .

所以．

同理可得，由，得，

所以，則，解得或．

當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率；當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率；當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率．

綜上所述，符合條件的三角形有個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布被制作成如下圖表：

（1）若采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?/span>8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？

（2）估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比；

（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：

①80歲及以上長(zhǎng)者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.

利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知兩個(gè)不共線的向量滿足， ， .

（1）若與垂直，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在兩個(gè)不同的使得成立，求正數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點(diǎn)處的切線方程為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；

（2）若該公司投資萬(wàn)元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營(yíng)銷，問(wèn)：怎樣分配這萬(wàn)元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)， 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)， 為雙曲線的左頂點(diǎn)，以， 為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于， 兩點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的離心率為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列中，在直線．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．

（ⅰ）求；

（ⅱ）是否存在整數(shù)λ，使得不等式(－1)nλ＜ (n∈N)恒成立？若存在，求出λ的取值的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求證：；

(3)求證：對(duì)任意的正整數(shù)，都有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面為平行四邊形，且,, 分別為中點(diǎn)，過(guò)作平面分別與線段相交于點(diǎn).

（Ⅰ）在圖中作出平面使面‖ (不要求證明）；

（II）若，在（Ⅰ）的條件下求多面體的體積.

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