已知A，B是拋物線x2=4y上兩個動點，且直線AO與直線BO的傾斜角之和為數(shù)學公式，試證明直線AB過定點．

解：顯然，直線AB與x軸不垂直，設直線AB的方程為y=kx+m，
代入x2=4y，得：x2-4kx-4m=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則：
設直線AO與直線BO的傾斜角分別為α，β，則α+β=，
又，
所以，．
即m=4k-4，
直線AB的方程為y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直線AB恒過定點（-4，-4）．
分析：設直線AB的方程為y=kx+m，代入x2=4y，利用韋達定理表示出A，B坐標的關系，結合直線AO與直線BO的傾斜角之和為，
建立k，m關系，研究是否過定點．
點評：本題要求學生能夠掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的一般方法：研究直線AB過定點的問題就要通過直線AB的方程y=kx+m討論問題，也就是要找到k與m的關系．為此，直線AB與拋物線交于不同的兩個點及對于條件“直線AO與直線BO的傾斜角之和為”進行必要的有效的代數(shù)化就成為解決本題的主要任務．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（II）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線y2=2px（p＞0）上兩點，O為坐標原點，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，l為拋物線的準線．
（1）若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；
（2）若
OA
•
OB
+p2=0（A、B異于原點），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點，求P點軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點，分別過A、B點的拋物線的切線相交于點T，求證：
AT
•
BT
=0，并且點T在l上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點的橫坐標．

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