拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．

 

【答案】

 

如圖所示，依題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則直線方程為y＝－x＋p.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D.

則由拋物線定義得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋＋x2＋，………………4分

即x2＋＋x2＋＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點，

由消去y，得x2－3px＋＝0，

Δ＝9p2－4×＝8p2＞0.

所以x1＋x2＝3p.

將其代入①得p＝2，

所以所求拋物線方程為y2＝4x.

當拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p＞0)時，

同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.

故所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝－4x.………………8分

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點，其焦點F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案