已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,n∈N*
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)令cn=1-(-1)nan,不等式ck≥2014(1≤k≤100,k∈N*)的解集為M,求所有ak(k∈M)的和.
分析:(Ⅰ)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由a52=a10,可得(a1q4)2=a1q9,解得a1=q.再利用2(an+an+2)=5an+1,可得q,即可得出an
(II)由(I)可得:cn=1-(-1)nan=1-(-2)n.當(dāng)n為偶數(shù),不成立.當(dāng)n為奇數(shù),cn=1+2n≥2014,可得n=2m+1,得到m的取值范圍.可知{ak}(k∈M)組成首項(xiàng)為211,公比為4的等比數(shù)列.求出即可.
解答:解:(Ⅰ)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,
(a1q4)2=a1q9,解得a1=q,
又∵2(an+an+2)=5an+1,
2(an+anq2)=5anq
則2(1+q2)=5q,2q2-5q+2=0,解得q=
1
2
(舍)或q=2.
an=2×2n-1=2n
(Ⅱ)由(I)可得:cn=1-(-1)nan=1-(-2)n,
當(dāng)n為偶數(shù),cn=1-2n≥2014,即2n≤-2013,不成立.
當(dāng)n為奇數(shù),cn=1+2n≥2014,即2n≥2013,
∵210=1024,211=2048,
∴n=2m+1,5≤m≤49,
∴{ak}(k∈M)組成首項(xiàng)為211,公比為4的等比數(shù)列.
則所有ak(k∈M)的和
211(1-445)
1-4
=
2101-2048
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
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12
,則n=
9
9

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