Question

（05年全國(guó)卷Ⅰ）（12分）

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD.

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE//CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，    

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN?MC=，

.    ∴AB=2，

故所求的二面角為

方法二：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

 

 

 

 

 

則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.

（Ⅰ）證明：因

又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：因

由此得AC與PB所成的角為

（Ⅲ）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使

要使

為所求二面角的平面角.