Question

等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且滿(mǎn)足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,連結(jié)、 (如圖2).
（1）求證:平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)參考解析； （2）

試題分析：(1) 由，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3.所以可得,所以在三角形ADE翻折過(guò)程中始終成立.又由于成直二面角.由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面.
（2）由于平面平面BCED.假設(shè)存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作BD的垂線，垂足為H.則為所求的角.假設(shè)BP的長(zhǎng)為x，根據(jù)題意分別求出相應(yīng)的線段.即可得結(jié)論.
(1) 因?yàn)榈冗叀?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045538864473.png" style="vertical-align:middle;" />的邊長(zhǎng)為3,且,
所以,．
在△中,,
由余弦定理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045539659702.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以．             （4分）
折疊后有  

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045539051613.png" style="vertical-align:middle;" />是直二面角,所以平面平面  
又平面平面,平面,,
所以平面                                         （6分）
（2）由(1)的證明,可知,平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖

設(shè),
則,,  
所以,,  
所以          （8分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045540268430.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以平面的一個(gè)法向量為  
因?yàn)橹本�與平面所成的角為,
所以  
,                               （10分）
解得  
即,滿(mǎn)足,符合題意  
所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí)    （12分）