Question

已知橢圓的離心率為，長軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）試直線y=kx+1交橢圓于不同的兩點A、B，以AB為直徑的圓恰過原點O，求直線方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，
∵橢圓的離心率為，長軸長為2
∴，
∴
∵a²=b²+c²
∴b=1 （2分）
∴所求橢圓方程為 （4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由
消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0
則△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0，
解得k≠0 （5分）
故，x₁x₂=0 （8分）
∵以AB為直徑的圓恰過原點O
∴
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=（10分）．
∴
∴直線方程為（12分）
分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合以AB為直徑的圓恰過原點O，求得切線向量，即可求得直線方程．
點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是借助于韋達定理，將以AB為直徑的圓恰過原點O，轉(zhuǎn)化為．