Question

已知函數(shù)f （x）=ax-ln x（a∈R）．
（Ⅰ）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，求f （x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，結合分類討論，即可求得函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

解答： 解：（I）f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0）（1分）
①當a≤0時，由于x＞0，故

ax-1

x

＜0
∴f （x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）（3分）
②當a＞0時，由f′（x）=0得x=

1

a

當x∈（0，

1

a

），f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)；
當x∈（

1

a

，+∞），f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)．（5分）
綜上，當a≤0時，函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當a＞0時，函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

a

，+∞）．（7分）
（II）根據(jù)（I）得到的結論，
當

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時，f （x）在（0，e]上為減函數(shù)，f （x）_min=f （e）=ae-1（9分）
當

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，f （x）在（0，

1

a

）上為減函數(shù)，在（

1

a

，e]上為增函數(shù)
∴f （x）_min=f （

1

a

）=1+ln a（12分）
綜上，當0＜a≤

1

e

時，f （x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ae-1，當a＞

1

e

，f （x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為1+ln a （14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等知識，考查學生分類討論思想的運用，及運算求解能力，屬于中檔題．