Question

定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值，則稱(chēng)之為函數(shù)的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱(chēng)之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出;
(2)求證：指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的短距不小于2且長(zhǎng)距不大于4.若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；不存在，則說(shuō)明理由？

Answer 1

（1）短距為，長(zhǎng)距不存在，短距為，長(zhǎng)距為5；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：本題屬于新定義概念，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值和最小值（如有的話(huà)）,正面討論時(shí)我們把距離表示為的函數(shù).（1）對(duì)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因此存在短距為，不存在長(zhǎng)距，對(duì)，
，，即有最大值也有最小值，因此短距和長(zhǎng)距都有；（2）對(duì)函數(shù)，，由于，因此短距不大于1，令，則有，故當(dāng)時(shí)，存在使得 ，當(dāng)時(shí)，存在使得 ，即證；（3）記，按題意條件，則有不等式對(duì)恒成立，這類(lèi)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，我們可采取分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，對(duì)，，按分別討論，對(duì)，，可得，由此可求得的范圍.
試題解析：（1）設(shè)（當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)）
短距為，長(zhǎng)距不存在．   +2分
設(shè)   +3分
    
短距為，長(zhǎng)距為5．   +5分
（2）設(shè)    
的短距不大于1    +7分
   與單位圓存在兩個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，存在使得 
當(dāng)時(shí)，存在使得 
指數(shù)函數(shù)的短距小于1;   +10分
（3）設(shè) 函數(shù)的短距不小于2且長(zhǎng)距不大于4 即對(duì)于