Question

已知函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a²-3a+2）=f（a-1），則滿足條件的所有整數a的和是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據已知中函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|結合函數奇偶性的定義，我們可以求出函數為一個偶函數，則f（a²-3a+2）=f（a-1），可以轉化為|a²-3a+2|=|a-1|，又由絕對值的幾何意義，我們可得f（0）=f（1）=f（-1），可知a=2也滿足要求，進而得到答案．
解答：解：∵函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函數f（x）為偶函數
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
則a²-3a+2=a-1，或a²-3a+2=-（a-1）
即a²-4a+3=0，或a²-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴當a=2時，也滿足要求
故滿足條件的所有整數a的和是1+2+3=6
故答案為6
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，及絕對值的幾何意義，解答本題的技巧性較強，難度也比較大，其中分析出函數的奇偶性，從面將f（a²-3a+2）=f（a-1），轉化為一個絕對值方程是解答本題的關鍵，但易忽略f（0）=f（1）=f（-1），而錯解為4．