Question

2．（1）已知a，b，c∈R^*且a+b+c=1，證明：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$
（2）當x≥4時，證明：$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$．

Answer 1

分析 （1）利用條件，兩邊平方，利用基本不等式，即可證得結(jié)論；
（2）分析使不等式$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．

解答 證明：∵a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．
（2）當x≥4時，要證$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，
兩邊平方只需證$\sqrt{（x-1）（x-4）}＜\sqrt{（x-2）（x-3）}$，
只需證x²-5x+6＞x²-5x+4，
即證6＞4，
顯然上式成立，
所以原不等式成立，即$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止，屬于中檔題．