Question

若對任意的實數m，n，都有f（m）+f（n）=f（m+n），且f（1005）=2，則f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2009）=________．

Answer 1

2010
分析：因為f（1005）=2，所以f（1005）+f（1005）=4．因為f（m）+f（n）=f（m+n），所以f（1005）+f（1005）=f（2010）=4．f（1）+f（2009）=f（2010），f（3）+f（2007）=f（2010），…，f（1003）+f（1007）=f（2010），f（1005）=2，由此能求出f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2009）的值．
解答：因為f（1005）=2，
所以f（1005）+f（1005）=4
又因為f（m）+f（n）=f（m+n）
所以f（1005）+f（1005）=f（2010）=4
又有
f（1）+f（2009）=f（2010）
f（3）+f（2007）=f（2010）
…
f（1003）+f（1007）=f（2010）
f（1005）=2
以上式子相加即為原式=4×502+2=2008+2=2010．
故答案為：2010．
點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意f（m）+f（n）=f（m+n）的靈活運用．