已知二次函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[0,m]上的最大值為3,最小值為1,求m的取值范圍.
分析:(1)先由題意設(shè)f(x)=ax2+bx+c,再結(jié)合f(2+x)=f(2-x)得到x=2是對稱軸,從而建立a,b,c的關(guān)系式,即可求得a,b,c.最后寫出函數(shù)f(x)的解析式即可;
(2)由于對稱軸為x=2,且f(2)=1,得到f(0)=f(4)=3,從而有:2≤m≤4,即m的取值范圍為[2,4].
解答:解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c
∵f(2+x)=f(2-x)
∴x=2是對稱軸
-
b
2a
=2
f(0)=c=3f(2)=4a+2b+c=1
a=
1
2
    b=-2

f(x)=
1
2
x2-2x+3

(2)∵對稱軸為x=2,且f(2)=1
∴f(0)=f(4)=3,為了使得f(x)在[0,m]上的最大值為3,最小值為1,
∴2≤m≤4
∴m的取值范圍為[2,4].
點評:本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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